측지좌표계와 지오이드 3

1. 지오이드

지오이드란 ｢지구중력 등포텐셜면 중에서 평균해수면에 일치하는 것｣으로서, 간단히 말하면 지구 전체를 물로 채웠다고 가정했을 경우 나타나는 해수면의 형태이다. 지오이드에는 지구회전에 의한 원심력이 포함되어 있으므로 적도면이 약간 부풀어 있지만, 그림 1에서처럼 다른 지역에서는 잘 나타나지 않는다.

 

그림 1. 전 세계적인 지오이드

 

그 이유는 기준면에 이미 원심력의 영향이 포함되어 있기 때문이다. 지구회전은 오랜 세월에 걸쳐 속도가 천천히 줄어들고 있으므로, 원심력도 조금씩 감소하고 있다. 그러나 그 양은 극히 작아서 현재 상태에서는 검출하기 불가능하다.

지오이드는 중력에 의한 포텐셜 에너지가 동일한 면(지구중력 등포텐셜면)의 하나로서 정의되므로 지오이드면과 중력의 방향은 직교한다. 외부에서 힘이 가해지지 않는다면, 물은 중력포텐셜면을 따라서 퍼지게 된다. 한국에서는 인천만의 평균해수면과 일치하는 등포텐셜면을 지오이드로 규정하여 표고의 기준면으로 삼고 있다.

 

그림 1의 지오이드도(圖)에서 주의해야할 것은, 그림에 표시된 기복은 어떤 기준면으로부터 위인지 아래인지만 나타낸다는 것이다. 이 그림에서의 기준면은 GRS80 타원체)로서 WGS-84와 거의 같은 타원체면이다. 지오이드면에 이와 같은 기복이 생기는 원인은 지구내부의 질량분포에 따라 중력의 차이가 존재하기 때문이다. 예를 들어, 밀도가 높은 물질이 지표부근에 묻혀 있으면 그 주변의 지오이드는 높아진다. 지오이드는 주로 해수면의 높이를 측정함으로써 구할 수 있다. 해수면의 높이는 대부분 인공위성에 탑재한 레이더 고도계를 이용하여 측정한 데이터를 해석함으로써 결정된다. 여기에 육지에서 측정한 중력데이터를 첨가하면 그림 10.1이 작성된다. 연안조위관측도 지오이드 연구에 중요하다. 이때 검조장의 위치와 높이를 GNSS를 이용하여 정밀하게 관측하면 전 세계에 대한 검조데이터를 통일시킬 수 있다.

 

 

2. GPS와 지오이드

종전 측량의 경우, 수평위치는 타원체면으로의 투영에 의한 위경도로 표현되고, 표고는 지오이드로부터의 높이로 표현되는 등 서로 다른 계통으로 구성 되어 있다. 반면 GNSS를 이용하는 경우 단독측위, DGNSS, 간섭측위 높이는 모두 타원체 표면으로부터의 측정된다. 최근의 단독측위 수신기에는 내부적으로 그림 1을 수치화한 간이형 지오이드고 보정 프로그램을 내장하고 있다. 이 프로그램을 사용하여 타원체고를 일상적으로 사용하고 있는 표고로 수정하여 출력한다. 하물며 측위정확도가 높은 DGNSS에서도 이와 같이 산출된 표고는 정확도가 수 m 정도이기 때문에 측량에서는 신뢰할 수 있는 결과를 얻을 수 없다. 이용목적에 따라, 예를 들어 차량항법장치와 같이 높이를 필요로 하지 않거나, 혹은 선박에서 이용할 경우에는 지오이드로 인한 문제는 없다.

 

DGNSS와 간섭측위는 기준점과 미지점에 대하여 세계측지계를 기준으로 한 좌표차를 측정하는 기술이다. 따라서 높이는 타원체고의 차이로 계산된다. 일반적으로는 이 타원체고의 차이는 표고 차와 동일하지 않다. 등고선의 간격이 넓은 장소에 대해 단거리 측량을 하는 경우에는 실질적으로는 타원체고 차이와 표고 차이는 거의 일치하지만, 등고선이 조밀한 장소 또는 장거리의 경우 양자 간의 차이가 크게 발생한다. 심한 경우 10km 거리에 대해 10cm 이상 차이가 나는 지역도 있다. 이 값은 정확도가 높은 간섭측위는 물론이고, 100km 정도 거리에서도 적용할 수 있는 DGPS에서도 그대로 사용할 수 없는 정도이다. DGPS는 일반적으로 수평위치(경위도)만 필요한 경우가 많다. 이와 같은 경우에는 높이의 차이에 의한 문제는 없다. 그러나 정확도가 높은 측량에서는 이 높이 차로 인한 문제는 아주 심각하다. 극단적 으로 생각할 경우, 현 상태로는 GNSS로 구한 높이를 그대로 사용해서는 안 된다고 생각하는 편이 좋다.

 

수 km 이내의 단거리 측량에서 요구 정확도가 수 cm 정도일 경우에만 GNSS의 높이를 그대로 이용할 수 있다. 표고가 필요한 측량에서는 수준측량을 병행해야 한다. 한국에서는 전국에 걸쳐 지오이드고 데이터를 정비하고 있으므로 이러한 데이터베이스를 활용할 경우 GNSS의 타원체고 차이를 표고 차이로 변환할 수 있다. 세계적으로는 이와 같은 데이터가 정비되어 있지 않으므로, 일반적으로는 반드시 수준 측량을 병행하여야 한다.

 

 

3. 타원체고와 표고

지도나 측량에서 사용되는 높이는 수준점의 높이로부터 끌어오게 된다. 수준점의 높이는 당연히 수준측량에 의해 결정된다. 수준측량은 기포관을 사용하여 레벨(수준측량기)을 수평으로 설치하고(기포관이라는 작은 유리용기 내부에도 수평면이 있다), 앞 뒤 측점에 수직으로 세운 표척의 눈금을 읽어 측점 간 높이차를 측정한다. 수평면은 지오이드면에 수평하기 때문에 이 높이의 차이는 지오이드면에 대한 높이의 차에 해당한다.

 

원리적으로는 인천만의 평균해수면(혹은 인하공전에 설치된 국가 수준원점)으로부터 임의의 수준점까지 이와 같은 수준측량을 실시한 후 관측된 높이의 차를 모두 합하면 수준점의 높이를 구할 수 있다. 이 높이를 표고(elevation)라고 한다. 엄밀하게 말하자면, 등포텐셜면의 간격은 그 지역의 중력에 따라 변하므로 어떠한 노선을 따라 수준 측량했는지에 따라 얻어지는 높이 차의 합은 변한다. 그러므로 중력보정을 고려한 정표고(正標高, orthometric height)나 정규고(正規高, normal height)를 이용할 필요가 있다.

 

지오이드는 실제의 지구에 대해 고정되어 있는 기준면으로서, 수면과 같이 매끈한 면이기는 하지만, 중력이 장소에 따라 다르므로 국지적인 높낮이가 발생하여 복잡한 형태를 하고 있다. 표고는 이러한 요철이 있는 지오이드면에 수직선을 내렸을 때 지오이드면까지의 거리로서 정의되어 있다. 표고는 수준면이라는 물리적인 실체를 기준으로 하고 있지만, 지오이드면을 간단한 수학 함수로 나타내는 것은 매우 어려우며, 이론적으로는 가장 까다로운 존재이다.

 

지오이드에서 세밀한 요철을 무시하고 전체적으로 본다면 회전타원체와 아주 유사하게 된다. 회전타원체는 수학적으로 다루기 쉽기 때문에, 지오이드에 근사한 회전타원체(준거타원체)를 지구의 표면에 적용하고, 준거타원체를 기준으로 하여 지구상의 위치를 나타내는 방법이 일반적이다. 이와 같이 설정된 것이 측지좌표이다. 관측점으로부터 준거타원체에 수직선을 내려서 타원체까지 거리를 측정하면 그것이 타원체고(ellipsoidal height)가 된다. 이것은 중력의 영향을 받지 않는 기하학적인 거리이다.

 

표고 H, 타원체고 h는

h = H + N (3.1)

과 같은 관계가 있다.

 

여기에서 N 은 준거타원체로부터 지오이드면까지의 거리로서, 지오이드고(geoidal undulation 또는 undulation)라고 한다. 이 식을 사용하여 표고를 타원체고로 고치면, 수학적으로 다루기 쉬운 기하학적 측지좌표로 변환할 수 있다. 그 결과 기하학적 측지좌표는 다음 절에서 설명할 3차원 직교좌표 변환공식에 적용할 수 있다.

 

 

4. 지오이드 모델

지오이드는 지구중력과 관련 있는 것으로서 지면에서의 중력측량이나 인공위성의 궤도해석, 해수면 관측위성데이터 등에 의해 다양한 모델이 작성되어 왔다. 현재 가장 정평 있는 세계적 지오이드 모델은 EGM96(Earth Gravitational Model 1996)이다. 이것은 미국 NASA 등이 육해공 중력데이터를 편집하여 제작한 것으로, 그림 1 보다는 정확도가 뛰어나지만, 해상도(점간 간격)가 약 55km로서 GNSS 측량에서 구한 타원체고를 표고로 변환하기에는 턱없이 부족하다.

 

우리나라에서는 2014년 12월 국토지리정보원(원장 최병남)이 해안·도서지역에서도 GPS를 이용해 빠르고 쉽게 높이를 측량할 수 있도록 '국가 지오이드 모델'의 확장 완료했다.

지오이드 모델은 지구상에서 해발고도를 측정하는 기준이 되는 평균해수면과 GPS 높이의 기준이 타원체고의 차이를 연속 구축한 것으로, 산맥처럼 지하물질의 밀도가 큰 곳은 지오이드가 볼록하게 표기돼 있고 반대로 저밀도이 곳은 지오이드가 낮게 표기된다(그림 2).

 

이번에 해안까지 지오이드 모델을 확장함에 따라 해양·도서지역에서 실시하는 각종 건설·토목공사, 지도제작 등을 할 때 기존보다 빠르고 쉽게 높이 측량이 가능하게 되었다. 향후 새로운 인공위성에 의한 중력관측이 예정되어 있으므로, 보다 정확도가 높은 지오이드 모델이 탄생될 것으로 기대된다.

 

그림 2 우리나라 지오이드 모델 (국토지리정보원 제공)